दो रेखाएँ कब समान्तर होती हैं | when are two lines parallel

 रेखागणित में ऐसे बहुत से सवाल हैं जो बहुत कठीन लगते हैं या फिर समझ में नहीं आते हैं। उन्ही में से एक सवाल है कि " दो रेखाएँ कब एक दूसरे के समान्तर होती हैं ? " कैसे पता करें कि हमें याद करने की जरूरत ना पड़े। 

आईए जानतें हैं इसके बारे में,

हम जानते हैं कि दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र - 

 tan∝ =  ( m₁ - m₂ ) /  1 + m₁ + m₂

 दो रेखाएँ तभी समान्तर हो सकती हैं जब उनके बीच का कोण शून्य ( जीरो ) हो। कैसे और क्यूँ का जवाब हम निचे अच्छी तरह से समझने वाले हैं पर सबसे पहले इस सूत्र को देख लेते हैं। इसलिए

   ∝ = 0° ( दोनो रेखाओं के बीच का कोण ) 

 m₁ =  पहली रेखा की प्रवणता

 m₂ =  दूसरी रेखा की प्रवणता

तब इन मानों को ऊपर दिए गए सूत्र में रखने पर,

tan0° = ( m₁ - m₂ ) /  1 + m₁ + m₂ 

      0  = ( m₁ - m₂ ) /  1 + m₁ + m₂ 

m₁ - m₂  =  (1 +  m₁ + m₂ ) × 0

m₁ - m₂  = 0

 m₁ = m₂  

तो सूत्र से यह पता चल रहा है कि जब दोनों रेखाओं की प्रवणताएँ एक दूसरे के सामान या बराबर होगीं तब दोनों रेखाएँ एक दूसरे के समान्तर होगीं। 

ऊपर दिए चित्र में AB एक सरल रेखा है जो X- अक्ष के समान्तर है। AB  रेखा X - अक्ष से b दूरी पर है इसलिए y = b होगा क्योंकि यह दूरी Y - अक्ष पर इसीलिए X - अक्ष का समीकरण भी y = b होता है। जहाँ b का कुछ भी मान हो सकता है। एक बात और ध्यान देने वाली है कि y = b अथवा b इसलिए धन ( + ) है क्योंकि रेखा AB और X - अक्ष के बीच b दूरी Y - अक्ष की धन दिशा में है। 

यह तो हो गई सूत्र की बात अब शब्दों की मदत से इसे समझने की कोशिश करते हैं। जब भी कोई भी परिभाषा बनती है किसी भी वस्तु की तो ऐसे शब्दों से बनायी जाती है जिससे पुरा - पुरा अर्थ स्पष्ट हो जाए। तो यहाँ भी वही बात है परिभाषा देखिए - 

जब किसी भी दो रेखाओं के बीच प्रत्येक बिन्दुओं पर समान अन्तर हो तो ऐसी रेखाओं को एक - दूसरे के समान्तर कहेंगे। 

                                   या

यदि दो रेखाएँ एक - दूसरे के समान्तर हैं तो उन रेखाओं की प्रवणताएँ समान या बराबर होती हैं। 

  प्रतिभाषा पर थोड़ा सा ध्यान दीजिये और  " समान्तर " शब्द का अर्थ देखिए।

 समान्तर शब्द का अर्थ = समान + अन्तर 

 जिसका साफ - साफ मतलब है कि एकसमान या बराबर अथवा समान अन्तर। जिससे यह स्पष्ट हो जाता है कि चाहे कोई भी दो सरल रेखा हों और उनके बीच प्रत्येक बिंदु एकसमान अंतर हो तो ऐसी रेखाओं एक - दूसरे के सापेक्ष समान्तर रेखाएँ कहेंगे। 

तो उम्मीद है कि आपको इसका अर्थ अच्छी तरह से समझने में आ गया होगा। अगर अब भी कोई सवाल है तो कमेंट करें हम हर सवाल का संभव जवाब देने की कोशिश करेंगे क्योंकि आप  https://www.possibilityplus.in/  पर हो। 

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