Sin(90° - 90°) = cos0°. kaise siddh kare, trigonometry question

 आज इस आर्टिकल में हम त्रिकोणमिति के कुछ विशेष प्रश्नों को हल करने की कोशिश करने वाले हैं। जब त्रिकोणमिति के सवालों की बात हो रही है तो हमें त्रिकोणमिति के अर्थ के बारे में भी जानकारी होनी ही चाहिए। 

त्रिकोणमिति क्या है? 

  त्रिकोणमिति किसी भी समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं और भुजाओं से संबंधित कोणों का माप कराती है यानी त्रिकोणमिति वह गणित है जो किसी भी समकोण त्रिभुज की समस्त माप की जानकारी देती है। 

                सिद्ध करने वाले सवाल 

Q.1➡️ सिद्ध किजिए कि Sin(90° - Ө ) = CosӨ 

   हल (Solution) : Sin(90° - θ) = Cosθ, को दो तरिके से सिद्ध कर सकते हैं।

 Alternative method

अगर ऊपर दिये गए समीकरण के दोनों पक्ष बराबर हैं तो  θ के सभी मानों के लिए बराबर होना चाहिए। इसलिए

 θ = 90° रखने पर, 

बाँए पक्ष से [L.H.S] = Sin(90° - 90°) = Sin0° = 1

∵              Cos0° = 1

∴               L.H.S = R.H.S

                          By formula

या   Sin(90° - θ) = Cosθ,

इसके अलावा    θ = 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 90° या कोई भी मान रखें यह सबपे दोनो पक्षों को बराबर ही आयेगा।

इसके बाद दूसरा तरिका देखिए ➡️

हम जानते हैं कि 

Sin(90° - θ) = Sin90°Cosθ° - Cos90°Sinθ

Sin(90°- θ ) = 1×Cosθ - 0×Sinθ

Sin(90°- θ ) = Cosθ

चुँकि दोनों पक्षों का मान बराबर है इसलिए यह सिद्ध हो गया है कि दोनों पक्षों का मान θ के सभी मानों के लिए सत्य है।

इसी तरह से अगर हमें  Sin(90° + θ) = Cosθ°  सिद्ध करना हो तो इसे भी हम ऊपर भाँति सिद्ध कर सकते हैं। जबकि इस सूत्र या सवाल में धन ( + ) का अन्तर है।

Q.2➡️ सिद्ध किजिए कि Sin(90° + Ө ) = CosӨ 

                         वैकल्पिक विधि 

अगर Sin(90° + θ) = Cosθ°  का दोनों पक्षों का मान समान है तो यह थीटा (θ) के प्रत्येक मान के लिए सत्य होना चाहिए। इस आधार पर हम  θ = 0°, 15°, 30°,45°,60° या वह कोण रख सकते हैं जिससे 90° + जोड़ने पर उस कोण का मान हमें पता हो। जैसे ➡️ θ = 0° रखने पर,

बायें तरफ से हल करने पर, 

L.H.S = Sin(90° + θ) = Cosθ° 

            Sin(90° + 0°) = Sin90°

                       Sin90° = 1.

अब दायें साइड से हल करेगें,

R.H.S = Cosθ = Cos0°= 1

अतः         L.H.S = R.H.S

 हम जानते हैं कि  Cos0° = 1  होता है। क्योंकि दोनों पक्षों का मान समान है। इसलिए Sin(90° + θ) = Cosθ° सही है। इसी तरह से हम θ के किसी भी मान को रखकर इन सूत्रों को सिद्ध कर सकते हैं। 

Q.3➡️सिद्ध किजिए कि Sin90°=1 

हम जानते हैं कि Sin90° का मान एक ( 1 ) "होता है पर इसे सिद्ध कैसे करे यह बड़ा मजेदार है। हम इसे भी कई तरीकों से सिद्ध कर सकते हैं जो इस प्रकार हैं ➡️

• वैकल्पिक विधि द्वारा 
• सूत्र से 

                            वैकल्पिक विधि 

इस विधि में हम किसी भी समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं यानी आधार, लम्ब और कर्ण  के आधार पर चाहे Sin90° हो या Sin0° या फिर कोई भी मान क्यों ना हो बड़ी आसानी से पता किया जा सकता है। 

   अगर हमें Sin 90° का मान बिना किसी सूत्र के पता लगाना है तो हम निचे दिए गए समकोण त्रिभुज की सहायता से पता कर सकते हैं। 

हम जानते हैं कि,       Sin θ = लम्ब / कर्ण 

अगर θ का मान 90° करना है तो हमें आधार वाली भुजा को लगभग शून्य करना होगा। तब इस परिस्थिति में लम्ब और कर्ण दोनों भुजाओं का आँकिक मान  ✱ लगभग बराबर हो जायेगा। ऊपर दिए गए दाएँ चित्र को देखिए। 

✱ नोट :   हम जानते हैं कि कर्ण हर संभव परिस्थितियों में दोनों शेष भुजाओं ( आधार और लम्ब ) से हमेशा कुछ न कुछ बड़ी अवश्य ही होगी। इसलिए  ( θ = 90°) पुरी तरह से नहीं हो सकता है। ये θ = 89.99999999..° होता है। अगर इस मान को लिखा जाए तो असुविधा होगी इसलिए इसे न लिखकर इसके स्थान पर 90° लिखा जाता है जो लगभग बराबर है। 

तब इस तरह ,  लम्ब = कर्ण 

               Sin90° = लम्ब / लम्ब  या = कर्ण / कर्ण = 1

                   सूत्र द्वारा

हम जानते हैं कि  Sin²θ + Cos²θ = 1 

∵                                  Cos90° = 1 

∴                           Sin²90° + 0 = 1

                                     Sin90° = 1 

उम्मीद है कि ये जानकारी आपको त्रिकोणमिति के सवालो को हल करने में मदत करेंगी। धन्यवाद  by : Possibilityplus.in